I riferimenti alle pagine del libro valgono per la prima H.
Forza o reazione vincolare
Paragrafo 2. pag. 100-101.
La forza vincolare esercitata da una fune è detta anche tensione.
È detta anche reazione vincolare perché è sempre opposta alla forza che preme (nel caso di un piano) o tira (nel caso di una fune) il vincolo. Ad esempio se un corpo è appoggiato su un tavolo esso preme sul tavolo con una forza pari al suo peso, il tavolo esercita sul corpo una forza opposta al peso.
La reazione vincolare è una forza variabile con un valore massimo; infatti se appoggiamo sul tavolo un corpo di massa maggiore esso preme sul tavolo con una forza maggiore e il tavolo applica una forza vincolare sempre opposta sul corpo, tale da mantenerlo in equilibrio. Come è facile immaginare esiste una forza applicata per cui il tavolo si rompe (o la corda si spezza), segno che la forza vincolare ha un valore massimo.
Forza di attrito radente
Paragrafo 7. Pag. 112/115
La forza di attrito radente statico o semplicemente forza di attrito statico (Fas) è una forza che si esercita tra la superficie di contatto del corpo e il piano d’appoggio quando il primo è fermo rispetto al secondo.
La forza di attrito statico è una forza variabile come si vede dalla figura a pag. 114 ed ha un valore massimo detta forza di attrito critico. Quest’ultima è quindi il massimo valore che può raggiungere la forza di attrito statico o, in altre parole, la minima forza che occorre applicare ad un corpo per metterlo in movimento.
sabato 26 marzo 2011
venerdì 25 marzo 2011
mercoledì 23 marzo 2011
Esercizi I I giovedì 24 marzo 2011
. Un mobile di massa 40 kg è spinto da un traslocatore:
a. disegna i vettori applicati sul mobile prima che questo si metta in movimento;
b. disegna i vettori applicati sul mobile quando questo si mette in movimento;
c. disegna i vettori applicati sul mobile, su cui è seduto un secondo traslocatore (massa= 85 kg), quando il mobile si mette in movimento. Nel caso c. calcola la forza necessaria a spostare il mobile sapendo che questo e il pavimento sono entrambi di legno. Quale forza bisogna applicare per mantenerlo in movimento (vedi tab. pag. 114).
2. Riprendi l'esercizio della sferetta di acciaio immersa in acqua, sostituisci al filo una molla di costante elastica 3 N/m, di quanto si allunga la molla?
3. Riprendi l'esercizio della sferetta di acciaio immersa in acqua, immagina di tagliare il filo che la sostiene, la sferetta affonda. Disegna le forze agenti su di essa mentre affonda e quando si trova sul fondo del recipiente.
Come già detto risolvi gli esercizi del compito:
1. Modificato; 2.
a. disegna i vettori applicati sul mobile prima che questo si metta in movimento;
b. disegna i vettori applicati sul mobile quando questo si mette in movimento;
c. disegna i vettori applicati sul mobile, su cui è seduto un secondo traslocatore (massa= 85 kg), quando il mobile si mette in movimento. Nel caso c. calcola la forza necessaria a spostare il mobile sapendo che questo e il pavimento sono entrambi di legno. Quale forza bisogna applicare per mantenerlo in movimento (vedi tab. pag. 114).
2. Riprendi l'esercizio della sferetta di acciaio immersa in acqua, sostituisci al filo una molla di costante elastica 3 N/m, di quanto si allunga la molla?
3. Riprendi l'esercizio della sferetta di acciaio immersa in acqua, immagina di tagliare il filo che la sostiene, la sferetta affonda. Disegna le forze agenti su di essa mentre affonda e quando si trova sul fondo del recipiente.
Come già detto risolvi gli esercizi del compito:
1. Modificato; 2.
giovedì 17 marzo 2011
IV I Compiti venerdì 18 marzo 2011
Non aggiungo altri compiti al problema dettato in classe mercoledì e non corretto.
Portate il quaderno di laboratorio
Portate il quaderno di laboratorio
sabato 12 marzo 2011
I I compiti per giovedì 22 marzo
1. Un mobile di massa 40 kg è spinto da un traslocatore:
a. disegna i vettori applicati sul mobile prima che questo si metta in movimento;
b. disegna i vettori applicati sul mobile quando questo si mette in movimento;
c. disegna i vettori applicati sul mobile, su cui è seduto un secondo traslocatore (massa= 85 kg), quando il mobile si mette in movimento. Nel caso c. calcola la forza necessaria a spostare il mobile sapendo che questo e il pavimento sono entrambi di legno. Quale forza bisogna applicare per mantenerlo in movimento (vedi tab. pag. 114).
2. Riprendi l'esercizio della sferetta di acciaio immersa in acqua, sostituisci al filo una molla di costante elastica 3 N/m, di quanto si allunga la molla?
3. Riprendi l'esercizio della sferetta di acciaio immersa in acqua, immagina di tagliare il filo che la sostiene, la sferetta affonda. Disegna le forze agenti su di essa mentre affonda e quando si trova sul fondo del recipiente.
Come già detto risolvi gli esercizi del compito:
1. Modificato; 2. .
a. disegna i vettori applicati sul mobile prima che questo si metta in movimento;
b. disegna i vettori applicati sul mobile quando questo si mette in movimento;
c. disegna i vettori applicati sul mobile, su cui è seduto un secondo traslocatore (massa= 85 kg), quando il mobile si mette in movimento. Nel caso c. calcola la forza necessaria a spostare il mobile sapendo che questo e il pavimento sono entrambi di legno. Quale forza bisogna applicare per mantenerlo in movimento (vedi tab. pag. 114).
2. Riprendi l'esercizio della sferetta di acciaio immersa in acqua, sostituisci al filo una molla di costante elastica 3 N/m, di quanto si allunga la molla?
3. Riprendi l'esercizio della sferetta di acciaio immersa in acqua, immagina di tagliare il filo che la sostiene, la sferetta affonda. Disegna le forze agenti su di essa mentre affonda e quando si trova sul fondo del recipiente.
Come già detto risolvi gli esercizi del compito:
1. Modificato; 2. .
III H lunedì 14 marzo
Aggiungere ai compiti già assegnati la seguente domanda:
secondo te perché non riesci a trovare semplici errori di calcolo o di costruzione (di una parabola ad esempio)?
secondo te perché non riesci a trovare semplici errori di calcolo o di costruzione (di una parabola ad esempio)?
giovedì 10 marzo 2011
Forza o reazione vincolare (appunti)
Un vincolo è un corpo che limita il movimento di un altro corpo applicando su di esso una forza detta reazione vincolare o forza vincolare.
Per un oggetto appoggiato su un piano quest’ultimo è un vincolo; la reazione vincolare è opposta alla forza che preme l’oggetto perpendicolarmente sul piano detta forza perpendicolare o forza normale. Per un oggetto appoggiato su un piano orizzontale essa coincide con il peso, per un oggetto su un piano inclinato essa coincide con la componente perpendicolare del peso.
Un filo è un vincolo per un oggetto legato ad esso; la reazione vincolare in questo caso è opposta alla forza che agisce sul filo parallelamente ad esso. Per un corpo appeso ad un filo verticale la reazione vincolare equilibra il peso dell’oggetto.
Se aumentiamo il peso a cui è sottoposto un piano orizzontale (quello di un tavolo ad esempio) aumenta anche la forza vincolare poiché l’oggetto rimane in equilibrio, ma ad un certo punto il piano si spezza; questo significa che la forza vincolare è una forza variabile che ha un valore massimo.
Per un oggetto appoggiato su un piano quest’ultimo è un vincolo; la reazione vincolare è opposta alla forza che preme l’oggetto perpendicolarmente sul piano detta forza perpendicolare o forza normale. Per un oggetto appoggiato su un piano orizzontale essa coincide con il peso, per un oggetto su un piano inclinato essa coincide con la componente perpendicolare del peso.
Un filo è un vincolo per un oggetto legato ad esso; la reazione vincolare in questo caso è opposta alla forza che agisce sul filo parallelamente ad esso. Per un corpo appeso ad un filo verticale la reazione vincolare equilibra il peso dell’oggetto.
Se aumentiamo il peso a cui è sottoposto un piano orizzontale (quello di un tavolo ad esempio) aumenta anche la forza vincolare poiché l’oggetto rimane in equilibrio, ma ad un certo punto il piano si spezza; questo significa che la forza vincolare è una forza variabile che ha un valore massimo.
martedì 8 marzo 2011
Compiti IV I venerdì 11 marzo
Studiare da pag. 618 a pag. 623 (Effetto Doppler), capendo il fenomeno e sapendo interpretare le formule, ma senza dimostrarle.
Es. n. 28, 29, 33, 37, 39 e 42 a pag. 643 e ss.
Es. n. 28, 29, 33, 37, 39 e 42 a pag. 643 e ss.
Appunti di laboratorio e compiti V B venerdì 11 marzo 2011
Dal basso verso l'alto i grafici indicano la tensione e la corrente in:
1)un circuito RL (resistenza, induttanza) in corrente continua, l'induttanza e la resistenza sono quelle della bobina da 1600 spire, si apprezza il tempo di salita non nullo della corrente in fase di chiusura del circuito;
2) un circuito puramente resistivo (R= 100 ohm) in corrente alternata, tensione e corrente sono in fase;
3) un circuito puramente capacitivo (C= 2200 microfarad) in corrente alternata, la corrente anticipa la tensione di un quarto di periodo;
4) un circuito puramente induttivo (1600 spire, per L considera la stima calcolata per esercizio approssimando la bobina con un solenoide) in corrente alternata, la tensione anticipa la corrente di (circa) un quarto di periodo.
Compiti per venerdì 11 marzo 2011
Studia il presente post; rappresenta un circuito puramente resistivo, uno puramente capacitivo, uno puramente induttivo.
Compiti II H giovedì 10 marzo 2011
Leggi e comprendi il brano riportato e svolgi i seguenti quesiti.
1. Controlla mediante la calcolatrice che per angoli piccoli (<5°) la tangente e il seno sono molto simili e quindi la prima può essere approssimata dal secondo.
2. Se una piscina ti appare profonda 1 m quanto è profonda in realtà?
3. Un coltello appare più piegato se è immerso in un contenitore pieno di acqua o di alcool?
4. Se ti sei mai immerso con la maschera avrai notato che gli oggetti sott'acqua appaiono più grandi e più vicini. Riflettendo sul brano appena studiato, sai dire perché?
Chi non risponde sul quaderno ai quesiti verrà valutato con una insufficienza.
Compiti III H giovedì 10 marzo 2011
1. Scrivi l'equazione della retta t tangente alla parabola p: y=-x^2 nel suo punto A di ascissa 1. Verifica poi che il vertice è punto medio del segmento A'B, essendo A' la proiezione di A sull'asse di simmetria della parabola e B l'intersezione fra quest'ultimo e la retta t.
2. E' assegnata la parabola p di equazione y= 1/2x^2-2x. Disegnala, invididua il fuoco F e traccia la direttrice d. Considera dei due punti in cui la parabola interseca l'asse x quello di ascissa positiva, conduci per questo punto la retta t tangente a p e la retta r parallela all'asse di simmetria, che incontra la direttrice nel punto B. Verifica che t è asse del segmento BF.
3. Sia p>0 la distanza tra fuoco e vertice di una parabola e siano quindi F(p;0) e d: x=-p, rispettivamente il fuoco e la direttrice di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x. Dimostra che il coefficiente a è tale che a=1/4p. Cosa accade alla parabola di equazione x=ay^2 al variare di p? Rispondi con tue considerazioni e controlla la tua ipotesi con Geogebra.
4. Dopo aver disegnato la parabola p: y=x^2, disegna le parabole seguenti scrivendo le loro equazioni nella forma y-yv=a(x-xv)^2 (xv e yv indicano le coordinate del vertice, occorrerà completare il quadrato al secondo membro) e quindi considerandole come ottenute da una traslazione di p (il cui vertice è stato traslato da O in V, anche gli altri punti che avevi disegnato di p vengono traslati nello stesso modo): a) y=x^2-5; b) y=x^2-14x+49; c) y=x^2-6x+10.
5. Ripeti il procedimento dell'esercizio 4. per disegnare le parabole di equazione: a)y=-2x^2+3; b) y=-2x^2+4x-4. Da quale parabola devi partire?
6. Es. n. 174 L209 (iniziato da Modesti in classe).
7. Es. n. 132 a pag. L207.
2. E' assegnata la parabola p di equazione y= 1/2x^2-2x. Disegnala, invididua il fuoco F e traccia la direttrice d. Considera dei due punti in cui la parabola interseca l'asse x quello di ascissa positiva, conduci per questo punto la retta t tangente a p e la retta r parallela all'asse di simmetria, che incontra la direttrice nel punto B. Verifica che t è asse del segmento BF.
3. Sia p>0 la distanza tra fuoco e vertice di una parabola e siano quindi F(p;0) e d: x=-p, rispettivamente il fuoco e la direttrice di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x. Dimostra che il coefficiente a è tale che a=1/4p. Cosa accade alla parabola di equazione x=ay^2 al variare di p? Rispondi con tue considerazioni e controlla la tua ipotesi con Geogebra.
4. Dopo aver disegnato la parabola p: y=x^2, disegna le parabole seguenti scrivendo le loro equazioni nella forma y-yv=a(x-xv)^2 (xv e yv indicano le coordinate del vertice, occorrerà completare il quadrato al secondo membro) e quindi considerandole come ottenute da una traslazione di p (il cui vertice è stato traslato da O in V, anche gli altri punti che avevi disegnato di p vengono traslati nello stesso modo): a) y=x^2-5; b) y=x^2-14x+49; c) y=x^2-6x+10.
5. Ripeti il procedimento dell'esercizio 4. per disegnare le parabole di equazione: a)y=-2x^2+3; b) y=-2x^2+4x-4. Da quale parabola devi partire?
6. Es. n. 174 L209 (iniziato da Modesti in classe).
7. Es. n. 132 a pag. L207.
venerdì 4 marzo 2011
I sistemi cosmologici di Eudosso e Tolomeo (Federica Cruciano)
Platone avrebbe assegnato ai suoi contemporanei il compito di mostrare che i moti planetari erano della stessa natura di quelli stellari, anche se non altrettanto semplici: poiché questi ultimi sono circolari ed uniformi, si doveva dimostrare che i primi erano combinazioni di moti circolari uniformi.
Eudosso da Cnimo (V- IV sec. a.C.), contemporaneo più giovane di Platone e grande matematico dell'antichità, fu il primo ad occuparsi della risoluzione del problema platonico. Eudosso, quindi, si servì di un sistema di sfere concentriche che spiegavano gli occasionali moti retrogradi dei pianeti. La sua teoria consisteva nell'immaginare il pianeta situato sull'equatore di una sfera che ruotava di moto uniforme; questa partecipava del moto di una seconda sfera, esterna alla prima e concentrica con essa, che ruotava intorno ad un asse diverso. Eudosso si accorse che, se le due sfere avessero avuto velocità di pari intensità e direzione opposta, e se i due assi fossero stati diversi, il pianeta si sarebbe mosso avanti ed indietro formando una figura ad otto, detta "ippopeda" o "pastoia". Inoltre, per riprodurre i moti principali dei pianeti, Eudosso si servì di altre due sfere. Infatti, esterna alla seconda e concentrica con essa, c'era una terza sfera che riproduceva il moto da ovest verso est del pianeta lungo l'eclittica (la traiettoria apparente del Sole). Questa terza sfera, a sua volta, partecipava del moto di una quarta sfera, più esterna, che generava il moto diurno (da est verso ovest) del pianeta intorno alla Terra.
Quindi le due sfere esterne spiegavano i moti principali del pianeta, mentre quelle interne i moti retrogradi.
Per la Luna, invece, Eudosso propose un sistema composto di tre sfere racchiuse l'una nell'altra. La prima, la più interna, rappresentava il mese lunare, la cui rotazione era di 27,2 giorni; la seconda, situata in posizione centrale, riproduceva il ciclo dell'eclissi (18,6 anni); infine, la terza, come per i pianeti, generava il moto da est verso ovest della Luna intorno alla Terra.
Eudosso utilizzò le stesse tre sfere anche per spiegare il moto del Sole, ma furono meno soddisfacenti.
Inoltre, utilizzò una sola sfera che riproduceva il moto delle stelle fisse, intorno alla Terra.
Quindi, essendo quattro le sfere per ogni pianeta, tre per la Luna, tre per il Sole ed una per le stella fisse, il sistema di Eudosso richiedeva l'uso di 27 sfere; inoltre, otto di queste (una per ciascun pianeta e una per le stelle fisse), fornivano semplicemente l'identico moto diurno, in modo tale che la complessità era tutt’altro che eccessiva. Non si possiedono testimonianze sulla natura attribuita da Eudosso alle sue sfere, ma è probabile che esse fossero semplicemente un espediente matematico per risolvere la questione degli astri erranti. Infatti, esse erano l’equivalente delle equazioni che descrivono il moto di tali corpi.
Dopo Eudosso, altro scienziato che diede una svolta al pensiero fu, dopo circa mezzo millennio, Tolomeo (II sec. d.C.). Grazie all'Almagesto ed al suo compendio, Tolomeo fornì informazioni essenziali anche sui suoi predecessori (Eudosso, Aristotele, Apollonio, Ipparco), oltre che sulle sue teorie. Inoltre, Tolomeo fornì dei dati matematici e fisici, utili per calcolare la posizione di un pianeta in un futuro lontano.
Tolomeo ereditò le tecniche dell'eccentrico, dell'epiciclo e del deferente da Apollonio e da Ipparco.
Come riferisce lo stesso Apollonio, entro il 200 a.C. era stato compiuto un progresso significativo nello sviluppo di due forme versatili di moti circolari. Nella prima, il pianeta si muove di moto uniforme su un cerchio intorno alla Terra, la quale non si trova nel centro. Pertanto il pianeta, muovendosi su questo cerchio eccentrico, varia la sua distanza dalla Terra e, pertanto, anche la sua velocità apparente in cielo. Nella seconda, il pianeta si muove di moto uniforme su un piccolo cerchio, detto epiciclo, il cui centro è trasportato con moto uniforme su un cerchio maggiore, o deferente. Se il moto del pianeta sull’epiciclo è abbastanza veloce relativamente al moto dell’epiciclo sul deferente, il pianeta sembrerà di tanto in tanto invertire la direzione del suo moto in cielo e muoversi all’indietro, di moto “retrogrado”.
Alle tecniche ereditate dai suoi predecessori, però, per calcolare le posizioni planetarie con precisione e senza difficoltà, Tolomeo aggiunse un altro espediente, il punctum aequans (punto equante, o, semplicemente, equante). Quest'ultimo fu definito da Tolomeo come il punto simmetrico della Terra, rispetto al centro del deferente. Grazie a questo espediente, un punto sulla circonferenza non doveva muoversi con velocità uniforme, ma con una velocità che variava in modo tale da apparire uniforme ad un osservatore situato nel punto equante. Per capire la sua scelta, può risultare utile fare un confronto con la conoscenza moderna dei moti dei pianeti. La prima delle leggi di Keplero dice che un pianeta si muove intorno al Sole su un'orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. La seconda legge prescrive la velocità del pianeta nella sua orbita: il "raggio vettore" che congiunge il pianeta al Sole si muove all'interno dell'ellisse in modo tale da descrivere aree uguali in tempi uguali. In concordanza alla seconda legge, il pianeta si muove nello spazio con una velocità minore quando è più lontano dal Sole e con velocità maggiore quando è più vicino ad esso. Sapendo ciò, di conseguenza il pianeta, visto dal fuoco vuoto, sembra muoversi in cielo con una velocità angolare quasi uniforme. Col beneficio del senno di poi, quindi, il punto equante di Tolomeo era così utile perché era strettamente affine al fuoco vuoto di un'ellisse kepleriana. Inoltre, se Tolomeo era pronto ad usare un dispositivo che violava il principio secolare dell'uniformità dei moti celesti, era senza dubbio perché gli interessavano di più la precisione e la comodità matematica che rimanere fedele all'assunto platonico.
Tolomeo aveva trovato che il modello della Luna di Ipparco rappresentava abbastanza bene solo le posizioni del pianeta quando Terra, Luna e Sole era allineati, ma era insoddisfacente per le altre posizioni. Introdusse, così, un meccanismo che variava la distanza dell'epiciclo della Luna dalla Terra. Quando Terra, Luna e Sole erano in linea il meccanismo restava inoperoso, ma altrove spingeva l'epiciclo verso la Terra, soprattutto quando Luna, Terra e Sole formavano un angolo retto. Il modello, però, implicava la fastidiosa conseguenza che la distanza della Luna dalla Terra variasse fra 33 e 64 raggi terrestri.
Questo mi è poco comprensibile, puoi spiegarlo meglio o utilizzare un’illustrazione?
Altro problema derivato dall'osservazione era che Mercurio e Venere non si allontanavano mai dal Sole: essi sorgevano e tramontavano col Sole, diversamente da Giove, Marte e Saturno, visibili anche di notte. Tolomeo, allora, nei suoi modelli allineò i centri dei loro epicicli col Sole, così che tutt'e tre avessero lo stesso periodo di un anno.
Inoltre, Tolomeo stabilì l'ordine dei pianeti in relazione alla loro distanza dalla Terra. Sembrava plausibile considerare le stelle fisse come i corpi più lontani (come avevano supposto Eudosso ed Aristotele circa mezzo millennio prima) e collocare poi più vicini ad esse i pianeti che ne imitavano più fedelmente il moto. Perciò, Tolomeo pose più vicino alle stelle fisse il pianeta Saturno, il cui moto differiva da quello delle stelle fisse solo di una rivoluzione ogni trent'anni, seguito da Giove (una rivoluzione orbitale in dodici anni) e da Marte (periodo orbitale di due anni). All'altro estremo, il corpo più vicino alla Terra era la Luna (periodo di rivoluzione di un mese). L'unico problema era stabilire l'ordine di Mercurio, Venere e Sole, che rimanevano vicini fra loro nella loro rivoluzione intorno alla Terra centrale. Poiché col ragionamento precedente erano stati collocati sopra il Sole Saturno, Giove e Marte, mentre sotto c'era la Luna, Tolomeo pareggiò le cose situando Venere e Mercurio sotto il Sole.
Tolomeo pervenne, infine, all'ordine Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte, Giove, Saturno, stelle fisse.
Conoscendo l'ordine dei pianeti, Tolomeo fece l'assunto che tutte le altezze possibili in cielo fossero divise fra i sette pianeti, che ogni pianeta avesse un suo ambito di altezze entro le quali variava la sua, e che tali ambiti non si sovrapponessero mai né lasciassero spazi vuoti. Egli potè sfruttare il fatto che l'altezza massima della Luna fosse di 64 raggi terrestri. Poiché l'ambito delle altezze occupate di tanto in tanto dalla Luna era adiacente a quello occupato dal pianeta seguente, Mercurio, Tolomeo dedusse che l'altezza minima di Mercurio dovesse essere uguale a 64 raggi terrestri. Conoscendo il rapporto dell'epiciclo di Mercurio al suo deferente, egli poteva calcolare l'altezza massima di Mercurio. Questa fu posta all'altezza minima di Venere; procedendo nello stesso modo, Tolomeo pose, infine, le stelle fisse all'altezza massima del pianeta più esterno, Saturno.
[Per capire questi ragionamenti occorre sapere cosa si intende per “altezza” del pianeta. Approfondisci]
In questo modo Tolomeo pervenne ad un universo il cui raggio era 19.865 volte maggiore del raggio della Terra, cioè circa 120 milioni di chilometri.
Eudosso da Cnimo (V- IV sec. a.C.), contemporaneo più giovane di Platone e grande matematico dell'antichità, fu il primo ad occuparsi della risoluzione del problema platonico. Eudosso, quindi, si servì di un sistema di sfere concentriche che spiegavano gli occasionali moti retrogradi dei pianeti. La sua teoria consisteva nell'immaginare il pianeta situato sull'equatore di una sfera che ruotava di moto uniforme; questa partecipava del moto di una seconda sfera, esterna alla prima e concentrica con essa, che ruotava intorno ad un asse diverso. Eudosso si accorse che, se le due sfere avessero avuto velocità di pari intensità e direzione opposta, e se i due assi fossero stati diversi, il pianeta si sarebbe mosso avanti ed indietro formando una figura ad otto, detta "ippopeda" o "pastoia". Inoltre, per riprodurre i moti principali dei pianeti, Eudosso si servì di altre due sfere. Infatti, esterna alla seconda e concentrica con essa, c'era una terza sfera che riproduceva il moto da ovest verso est del pianeta lungo l'eclittica (la traiettoria apparente del Sole). Questa terza sfera, a sua volta, partecipava del moto di una quarta sfera, più esterna, che generava il moto diurno (da est verso ovest) del pianeta intorno alla Terra.
Quindi le due sfere esterne spiegavano i moti principali del pianeta, mentre quelle interne i moti retrogradi.
Per la Luna, invece, Eudosso propose un sistema composto di tre sfere racchiuse l'una nell'altra. La prima, la più interna, rappresentava il mese lunare, la cui rotazione era di 27,2 giorni; la seconda, situata in posizione centrale, riproduceva il ciclo dell'eclissi (18,6 anni); infine, la terza, come per i pianeti, generava il moto da est verso ovest della Luna intorno alla Terra.
Eudosso utilizzò le stesse tre sfere anche per spiegare il moto del Sole, ma furono meno soddisfacenti.
Inoltre, utilizzò una sola sfera che riproduceva il moto delle stelle fisse, intorno alla Terra.
Quindi, essendo quattro le sfere per ogni pianeta, tre per la Luna, tre per il Sole ed una per le stella fisse, il sistema di Eudosso richiedeva l'uso di 27 sfere; inoltre, otto di queste (una per ciascun pianeta e una per le stelle fisse), fornivano semplicemente l'identico moto diurno, in modo tale che la complessità era tutt’altro che eccessiva. Non si possiedono testimonianze sulla natura attribuita da Eudosso alle sue sfere, ma è probabile che esse fossero semplicemente un espediente matematico per risolvere la questione degli astri erranti. Infatti, esse erano l’equivalente delle equazioni che descrivono il moto di tali corpi.
Dopo Eudosso, altro scienziato che diede una svolta al pensiero fu, dopo circa mezzo millennio, Tolomeo (II sec. d.C.). Grazie all'Almagesto ed al suo compendio, Tolomeo fornì informazioni essenziali anche sui suoi predecessori (Eudosso, Aristotele, Apollonio, Ipparco), oltre che sulle sue teorie. Inoltre, Tolomeo fornì dei dati matematici e fisici, utili per calcolare la posizione di un pianeta in un futuro lontano.
Tolomeo ereditò le tecniche dell'eccentrico, dell'epiciclo e del deferente da Apollonio e da Ipparco.
Come riferisce lo stesso Apollonio, entro il 200 a.C. era stato compiuto un progresso significativo nello sviluppo di due forme versatili di moti circolari. Nella prima, il pianeta si muove di moto uniforme su un cerchio intorno alla Terra, la quale non si trova nel centro. Pertanto il pianeta, muovendosi su questo cerchio eccentrico, varia la sua distanza dalla Terra e, pertanto, anche la sua velocità apparente in cielo. Nella seconda, il pianeta si muove di moto uniforme su un piccolo cerchio, detto epiciclo, il cui centro è trasportato con moto uniforme su un cerchio maggiore, o deferente. Se il moto del pianeta sull’epiciclo è abbastanza veloce relativamente al moto dell’epiciclo sul deferente, il pianeta sembrerà di tanto in tanto invertire la direzione del suo moto in cielo e muoversi all’indietro, di moto “retrogrado”.
Alle tecniche ereditate dai suoi predecessori, però, per calcolare le posizioni planetarie con precisione e senza difficoltà, Tolomeo aggiunse un altro espediente, il punctum aequans (punto equante, o, semplicemente, equante). Quest'ultimo fu definito da Tolomeo come il punto simmetrico della Terra, rispetto al centro del deferente. Grazie a questo espediente, un punto sulla circonferenza non doveva muoversi con velocità uniforme, ma con una velocità che variava in modo tale da apparire uniforme ad un osservatore situato nel punto equante. Per capire la sua scelta, può risultare utile fare un confronto con la conoscenza moderna dei moti dei pianeti. La prima delle leggi di Keplero dice che un pianeta si muove intorno al Sole su un'orbita ellittica di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. La seconda legge prescrive la velocità del pianeta nella sua orbita: il "raggio vettore" che congiunge il pianeta al Sole si muove all'interno dell'ellisse in modo tale da descrivere aree uguali in tempi uguali. In concordanza alla seconda legge, il pianeta si muove nello spazio con una velocità minore quando è più lontano dal Sole e con velocità maggiore quando è più vicino ad esso. Sapendo ciò, di conseguenza il pianeta, visto dal fuoco vuoto, sembra muoversi in cielo con una velocità angolare quasi uniforme. Col beneficio del senno di poi, quindi, il punto equante di Tolomeo era così utile perché era strettamente affine al fuoco vuoto di un'ellisse kepleriana. Inoltre, se Tolomeo era pronto ad usare un dispositivo che violava il principio secolare dell'uniformità dei moti celesti, era senza dubbio perché gli interessavano di più la precisione e la comodità matematica che rimanere fedele all'assunto platonico.
Tolomeo aveva trovato che il modello della Luna di Ipparco rappresentava abbastanza bene solo le posizioni del pianeta quando Terra, Luna e Sole era allineati, ma era insoddisfacente per le altre posizioni. Introdusse, così, un meccanismo che variava la distanza dell'epiciclo della Luna dalla Terra. Quando Terra, Luna e Sole erano in linea il meccanismo restava inoperoso, ma altrove spingeva l'epiciclo verso la Terra, soprattutto quando Luna, Terra e Sole formavano un angolo retto. Il modello, però, implicava la fastidiosa conseguenza che la distanza della Luna dalla Terra variasse fra 33 e 64 raggi terrestri.
Questo mi è poco comprensibile, puoi spiegarlo meglio o utilizzare un’illustrazione?
Altro problema derivato dall'osservazione era che Mercurio e Venere non si allontanavano mai dal Sole: essi sorgevano e tramontavano col Sole, diversamente da Giove, Marte e Saturno, visibili anche di notte. Tolomeo, allora, nei suoi modelli allineò i centri dei loro epicicli col Sole, così che tutt'e tre avessero lo stesso periodo di un anno.
Inoltre, Tolomeo stabilì l'ordine dei pianeti in relazione alla loro distanza dalla Terra. Sembrava plausibile considerare le stelle fisse come i corpi più lontani (come avevano supposto Eudosso ed Aristotele circa mezzo millennio prima) e collocare poi più vicini ad esse i pianeti che ne imitavano più fedelmente il moto. Perciò, Tolomeo pose più vicino alle stelle fisse il pianeta Saturno, il cui moto differiva da quello delle stelle fisse solo di una rivoluzione ogni trent'anni, seguito da Giove (una rivoluzione orbitale in dodici anni) e da Marte (periodo orbitale di due anni). All'altro estremo, il corpo più vicino alla Terra era la Luna (periodo di rivoluzione di un mese). L'unico problema era stabilire l'ordine di Mercurio, Venere e Sole, che rimanevano vicini fra loro nella loro rivoluzione intorno alla Terra centrale. Poiché col ragionamento precedente erano stati collocati sopra il Sole Saturno, Giove e Marte, mentre sotto c'era la Luna, Tolomeo pareggiò le cose situando Venere e Mercurio sotto il Sole.
Tolomeo pervenne, infine, all'ordine Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte, Giove, Saturno, stelle fisse.
Conoscendo l'ordine dei pianeti, Tolomeo fece l'assunto che tutte le altezze possibili in cielo fossero divise fra i sette pianeti, che ogni pianeta avesse un suo ambito di altezze entro le quali variava la sua, e che tali ambiti non si sovrapponessero mai né lasciassero spazi vuoti. Egli potè sfruttare il fatto che l'altezza massima della Luna fosse di 64 raggi terrestri. Poiché l'ambito delle altezze occupate di tanto in tanto dalla Luna era adiacente a quello occupato dal pianeta seguente, Mercurio, Tolomeo dedusse che l'altezza minima di Mercurio dovesse essere uguale a 64 raggi terrestri. Conoscendo il rapporto dell'epiciclo di Mercurio al suo deferente, egli poteva calcolare l'altezza massima di Mercurio. Questa fu posta all'altezza minima di Venere; procedendo nello stesso modo, Tolomeo pose, infine, le stelle fisse all'altezza massima del pianeta più esterno, Saturno.
[Per capire questi ragionamenti occorre sapere cosa si intende per “altezza” del pianeta. Approfondisci]
In questo modo Tolomeo pervenne ad un universo il cui raggio era 19.865 volte maggiore del raggio della Terra, cioè circa 120 milioni di chilometri.
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