III H compiti mercoledì 6 aprile

1. Confuta l'ipotesi di Di Giacomo per cui mt=y0/2x0, dove (x0;y0) è un punto di una parabola con asse di simmetria parallelo a x o a y ed mt il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto alla parabola.
2. Teorema (dimostrazione-sfida facoltativa). Dimostra che la tangente ad una parabola in un punto P è bisettrice dell'angolo FPH, dove F è il fuoco e H la proiezione di P sulla direttrice. (Sugg.: ragiona per assurdo e supponi che la bisettrice dell'angolo FPH sia secante la parabola, ...)
3. Corollario (dimostrazione obbligatoria). La tangente in un punto di un parabola è asse del segmento FH dove F è il fuoco e H è la proiezione di P sulla direttrice.
4. Definizione di parabola come inviluppo. Dato un punto F detto fuoco, una retta d detta direttrice, e un punto P appartenente a d, la parabola è la curva che ha come tangente in ogni punto l'asse del segmento FP al variare di P su d.
5. Realizza con geogebra la costruzione di cui alla definizione 4. e ottieni la parabola muovendo P su d (imposta "traccia attiva" per l'asse).
6. Data una parabola y= ax^2, traccia la retta r passante per il fuoco F e parallela alla direttrice d; verifica che il segmento AB staccato dalla parabola su r è congruente alla distanza VF, dove V è il vertice della parabola. Dimostra inoltre che le rette tangenti in A e B si intercecano sulla direttrice e sono perpendicolari tra loro (naturalmente occorre esprimere coordinate ed equazioni in funzione del parametro a).